Hallo!
Danke, Problem gelöst!
Da die Leuchte ja direkt an der Batterie funktionierte, hatte ich den mitgelieferten Stecker in Verdacht.
Nun den Stecker der originalen Beleuchtung abgeschnitten (aua) und verwendet, und jetzt geht alles wie es soll.
Vielen Dank für den Tipp!
Sorry, hab vorerst doch gelötet, weil ich so ungeduldig bin. Da aber alles leicht zugänglich ist, kann ich bei Gelegenheit Stecker draufmachen...